Polynomring/Eine Variable/Frobenius/Basis/Darstellung/Aufgabe

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(p)$, wir betrachten den Frobeniushomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K[X]$

und dadurch ${}K[X]$ als ${}K[X]$-Modul. Beschreibe die folgenden Polynome ${}F$ als ${}K[X]$-Linearkombination bezüglich der Basis ${}X^{0},X^{1},\ldots ,X^{p-1}$.

1. ${}p=3$ und ${}F=2+2X^{1}+X^{2}$
2. ${}p=5$ und ${}F=X^{5}$.
3. ${}p=2$ und ${}F=X^{3}+X^{4}+X^{9}$.
4. ${}p=3$ und ${}F=2X^{2}+X^{3}+X^{5}+2X^{7}$.

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