Es sei ein
Körper
und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform
-
mit
bezeichnet
-
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch
-
falls es eine Linearform
mit
mit
-
gibt.
- Berechne
-
- Zeige, dass durch eine
Äquivalenzrelation
gegeben ist.
- Es sei
.
Zeige, dass jedes Polynom einen
Repräsentanten
mit
-
besitzt.
- Es sei
.
Zeige, dass jedes Polynom einen
normierten
Repräsentanten besitzt.
- Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.