Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}&=3{\left(3X-5\right)}^{2}-4{\left(3X-5\right)}+7\\&=3{\left(9X^{2}-30X+25\right)}-12X+20+7\\&=27X^{2}-102X+102.\end{aligned}}$

2. Wegen

   ${}P{\frac {X}{X}}=P\,$

   ist die Relation reflexiv. Sei

   ${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,$

   und

   ${}R=Q{\frac {cX+d}{X}}\,$

   mit ${}a,c\neq 0$. Dann ist wegen

   ${}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}={\left(aX+b\right)}{\frac {cX+d}{X}}=a{\left(cX+d\right)}+b=acX+ad+b=X{\frac {acX+ad+b}{X}}\,$

   und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch

   ${}R=Q{\frac {cX+d}{X}}={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {cX+d}{X}}=P{\frac {acX+ad+b}{X}}\,,$

   also ${}P\sim R$, da ja wegen ${}ac\neq 0$ rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Es sei nun

   ${}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,.$

   Dann sind wegen

   ${}{\begin{aligned}{\left(X{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}&={\left(aX+b\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\\&=a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b\\&=X\end{aligned}}$

   die Einsetzungen durch ${}aX+b$ und durch ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ invers zueinander und somit ist

   ${}P={\left(P{\frac {aX+b}{X}}\right)}{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}=Q{\frac {{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}}{X}}\,$

   und die Relation ist symmetrisch.

3. Sei

   ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

   Bei

   ${}a_{0}=0\,$

   können wir

   ${}Q=P\,$

   nehmen. Es sei also ${}P$ insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein ${}c\in {\mathbb {C} }$ mit

   ${}P(c)=0\,.$

   Dann ist

   ${}Q:=P{\frac {X+c}{X}}=a_{n}(X+c)^{n}+\cdots +a_{1}(X+c)+a_{0}=XH+a_{n}c^{n}+\cdots +a_{1}c+a_{0}=XH\,$

   mit einem Polynom ${}H$. Offenbar ist ${}Q(0)=0$.

4. Es sei wieder

   ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein ${}d\in {\mathbb {C} }$ mit ${}d^{n}=a_{n}$. Dann ist

   ${}P{\frac {{\frac {1}{d}}X}{X}}=a_{n}{\left({\frac {1}{d}}X\right)}^{n}+\cdots +a_{1}\cdot {\frac {1}{d}}X+a_{0}\,$

   ein normiertes und zu ${}P$ äquivalentes Polynom.

5. Es sei

   ${}P=(X-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (X-\lambda _{r})^{n_{r}}S\,$

   mit verschiedenen Nullstellen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}S$. Dann ist

   ${}P{\frac {aX+b}{X}}=(aX+b-\lambda _{1})^{n_{1}}\cdots (aX+b-\lambda _{r})^{n_{r}}{\left(S{\frac {aX+b}{X}}\right)}\,$

   und dieses besitzt zumindest die ${}r$ verschiedenen Nullstellen ${}{\frac {\lambda _{1}-b}{a}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}-b}{a}}$. Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau ${}r$ Nullstellen.

Zur gelösten Aufgabe