Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/2/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2\neq 0$ und sei ${}K[X]_{\leq 2}$ der ${}K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq 2$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq 2}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Beschreibe die Auswertung an ${}-4$ als Linearkombinationen der Auswertungen an ${}0$, an ${}1$ und an ${}2$.

c) Überprüfe das Ergebnis aus (b) für das Polynom ${}5X^{2}-2X+3$.

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