Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/2/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq 2}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

{}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}

was die Linearität bedeutet.

b) Es sei

{}P=aX^{2}+bX+c\,.

Es ist

{}\operatorname {Ev} _{0}(P)=c\,,

{}\operatorname {Ev} _{1}(P)=a+b+c\,

und

{}\operatorname {Ev} _{2}(P)=4a+2b+c\,.

Die Koeffizienten des Polynoms kann man aus den drei Evaluationen rekonstruieren, es ist

{}a={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)-\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\,,

{}b=-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)+2\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {3}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\,

und

{}c=\operatorname {Ev} _{0}(P)\,.

Daher ist

{}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{-4}(P)&=\operatorname {Ev} _{-4}(aX^{2}+bX+c)\\&=16a-4b+c\\&=16{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)-\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}-4{\left(-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)+2\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {3}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}+\operatorname {Ev} _{0}(P)\\&=10\operatorname {Ev} _{2}(P)-24\operatorname {Ev} _{1}(P)+15\operatorname {Ev} _{0}(P).\end{aligned}}

Also ist

{}\operatorname {Ev} _{-4}=10\operatorname {Ev} _{2}-24\operatorname {Ev} _{1}+15\operatorname {Ev} _{0}\,.

c) Für das Polynom ${}5X^{2}-2X+3$ ergibt die Auswertung an ${}-4$ direkt

{}5\cdot (-4)^{2}-2\cdot (-4)+3=91\,.

Die Linearkombination der Auswertungen ergibt ebenfalls

{}{\begin{aligned}10\operatorname {Ev} _{2}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}-24\operatorname {Ev} _{1}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}+15\operatorname {Ev} _{0}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}&=10\cdot {\left(20-4+3\right)}-24\operatorname {Ev} _{1}{\left(5-2+3\right)}+15\operatorname {Ev} _{0}{\left(3\right)}\\&=190-144+45\\&=91.\end{aligned}}