Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearformen/Kein Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome ${}P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare ${}r,s\in K$ und ${}z\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Die Nullform lässt sich nicht als Auswertung realisieren, da ${}\operatorname {Ev} _{z}$ am Polynom ${}X-z+1$ nicht den Wert ${}0$ besitzt. Daher sind wegen

${}0\cdot \operatorname {Ev} _{z}=0\,$

die Auswertungen auch nicht abgeschlossen unter skalarer Multiplikation. Die Auswertungen sind auch nicht abgeschlossen unter der Addition. Die Auswertung an der ${}0$ ergibt den konstanten Term des Polynoms, das Doppelte davon also das Doppelte des konstanten Terms. Wenn dies gleich einer Auswertung ${}\operatorname {Ev} _{w}$ wäre, so müsste

${}\operatorname {Ev} _{w}(X)=w=0\,$

und auch

${}\operatorname {Ev} _{w}(X+1)=w+1=2\,$

sein, was nicht sein kann.

Zur gelösten Aufgabe