Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearformen/Kein Untervektorraum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$-Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Es sei

${}M={\left\{\operatorname {Ev} _{z}\mid z\in K\right\}}\subseteq {\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}\,.$

Zeige, dass ${}M$ keines der Untervektorraumaxiome erfüllt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen