Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung hat die Gestalt

Es sei das maximale Ideal im Polynomring . Dabei gilt

Für ein weiteres Polynom (mit ) ist . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von ist nach Aufgabe gleich

Daher ergibt sich für die Gleichheit

Dies ist die Behauptung.