Polynomring/Körper/Division mit Rest/2/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ${}T\in K[X]$ ein Polynom ${}P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom ${}Q\in K[X]$ mit

{}P=TQ\,

gibt.

Wenn ${}P$ von ${}T$ geteilt wird, so sagt man auch, dass ${}P$ ein Vielfaches von ${}T$ ist. In ${}K[X]$ ist es, anders wie in einem Körper, aber ähnlich wie in ${}\mathbb {Z}$ , nicht möglich, ein Element durch ein anderes Element ${}\neq 0$ zu teilen. Es gibt aber einen wichtigen Ersatz dafür, die Division mit Rest.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$ . Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$ , also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$ . Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

{}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.

Daraus ergibt sich insgesamt

{}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$ . Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

\Box

Das Polynom ${}T$ ist genau dann ein Teiler von ${}P$ , wenn bei der Division mit Rest von ${}P$ durch ${}T$ der Rest gleich ${}0$ ist. Der Beweis des Satzes ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit der man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers beherrschen. Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen.

Beispiel

Wir führen die Polynomdivision

P=6X^{3}+X+1{\text{ durch }}T=3X^{2}+2X-4

(über ${}\mathbb {Q}$ ) durch. Es wird also ein Polynom vom Grad ${}3$ durch ein Polynom vom Grad ${}2$ dividiert, d.h. dass der Quotient und auch der Rest (maximal) vom Grad ${}1$ sind. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man ${}T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit ${}P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar ${}2X$ . Das Produkt ist

{}2X{\left(3X^{2}+2X-4\right)}=6X^{3}+4X^{2}-8X\,.

Die Differenz von ${}P$ zu diesem Produkt ist

6X^{3}+X+1-{\left(6X^{3}+4X^{2}-8X\right)}=-4X^{2}+9X+1\,.

Mit diesem Polynom, nennen wir es ${}P'$ , setzen wir die Division durch ${}T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man ${}T$ mit ${}{\frac {-4}{3}}$ multiplizieren. Dies ergibt