Dabei nennt man die Variable des Polynomrings. Ein Polynom
ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel , die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper heißt in diesem Zusammenhang der Grundkörper des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem Nullpolynom
(bei dem alle Koeffizienten sind)
als neutralem Element. Die Polynome mit
für alle
heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als .
Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also
,
gegeben. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:[1]
-
Beispielsweise ist
-
Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als
-
Mit diesen Bezeichnungen ist
woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist
was die Distributivität bedeutet.
Der Polynomring ist kein Körper, beispielsweise gibt es zur Variablen kein inverses Element.
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient , der zum Grad des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck heißt Leitterm. Ein Polynom mit Leitkoeffizient heißt normiert.
Es sei ein
Körper
und
Polynome über .
Dann gelten für den
Grad
folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Es ist
.
Es seien
-
und
-
mit
,
also
und .
Bei
ist der Grad der Summe, bei
ist bei
dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner
(die Summe kann sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren).
Wegen
Fakt
ist
und somit ist der Leitterm des Produktpolynoms , dessen Grad somit gleich ist.
Polynome vom Grad sind die konstanten Polynome, Polynome vom Grad nennt man auch lineare Polynome.
- ↑ Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für
bzw.
mit den Koeffizienten
bzw.
ergänzen können.