Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
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![{\displaystyle {}I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed84338785eb830af3306718396f4f76462a6f0f)
Dies ist ein
Ideal
von
, wie man direkt überprüft. Nach
Fakt
ist dieses Ideal ein
Hauptideal,
also
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mit einem gewissen Polynom
. Es ist
ein gemeinsamer Teiler der
. Wegen
ist nämlich
-

d.h.
ist ein Teiler von jedem
. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
-

für alle
und damit auch
-

Also ist
-

Da nach Voraussetzung
den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss
eine Konstante sein. Also ist
-

und insbesondere
.
Also ist
eine Linearkombination der
.