Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen

Dies ist ein Ideal von , wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also

mit einem gewissen Polynom . Es ist ein gemeinsamer Teiler der . Wegen ist nämlich

d.h. ist ein Teiler von jedem . Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist

für alle und damit auch

Also ist

Da nach Voraussetzung den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss eine Konstante sein. Also ist

und insbesondere . Also ist eine Linearkombination der .