Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel

Sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring in ${}m$ Variablen über einem Körper ${}K$. Dann gibt es nach Aufgabe genau ${}{\binom {n+m-1}{m-1}}$ Monome vom Grad ${}n$. Dies ist somit die ${}K$-Vektorraumdimension der ${}n$-ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten ${}R$-Moduls ${}R$ ist also

${}{\begin{aligned}H_{R}(n)&={\binom {n+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}n^{m-1}+{\frac {m}{2(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$

Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$, das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.