Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring und ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Dann heißt zu einem Monom

${}G=X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die Zahl

${}|\nu |=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\,$

der Grad von ${}G$. Zu einem Polynom ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum

$\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$

der Grad von ${}F$.

Definition

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring und ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Dann heißt zu einem Polynom ${}F\in R$ mit ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$ die Zerlegung

${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

mit

${}F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$. Die ${}F_{i}$ nennt man die homogenen Komponenten von ${}F$ zum Grad ${}i$. Das Polynom ${}F$ selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von ${}F$ nur ein ${}F_{i}$ vorkommt.

Die Nullstellenmenge eines homogenen Polynoms ${}F$ ist ein (Geraden-)Kegel durch den Nullpunkt. D.h. mit einem Punkt ${}P$ gehört auch die ganze Gerade durch ${}P$ und ${}0$ zu ${}V(F)$.

Beispiel

Das Polynom

${}F=4X^{3}YZ^{2}+2X^{2}Y^{5}+5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+X^{8}-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+X+5\,$

hat den Grad ${}9$ und die homogenen Komponenten sind

${}F_{9}=5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+2Y^{6}Z^{3}\,,$

${}F_{8}=X^{8}\,,$

${}F_{7}=2X^{2}Y^{5}-Y^{7}\,,$

${}F_{6}=4X^{3}YZ^{2}\,,$

${}F_{5}=F_{4}=F_{3}=F_{2}=0\,,$

$F_{1}=X{\text{ und }}F_{0}=5.$

Wenn man es als Polynom in ${}(K[Y,Z])[X]$ auffasst und sich nur dafür interessiert, in welcher Potenz ${}X$ vorkommt, so spricht man vom ${}X$-Grad. Der ${}X$-Grad von ${}F$ ist ${}8$. Es gibt natürlich auch eine homogene Zerlegung entlang der ${}X$-Graduierung; dabei ist beispielsweise die Komponente zum ${}X$-Grad ${}0$ gleich ${}-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+5$ und zum ${}X$-Grad ${}1$ gleich ${}5XYZ^{7}+X$.