Polynomring/Potenz von X/Teiler/Aufgabe/Lösung

Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von . Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über . Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ist. Sei . Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

haben, was erzwingt. Sei nun beliebig und eine Faktorzerlegung

in normierte Polynome vorgegeben. Da eine Nullstelle links ist, muss oder sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Fakt ist ein Teiler von und somit ist

Da nullteilerfrei ist, folgt

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.