Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}ph=fg$.  Wir nehmen an, dass ${}p$ weder ${}f$ noch ${}g$ teilt. Dann teilt ${}p$ nicht alle Koeffizienten von ${}f$ und von ${}g$. Es sei ${}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien ${}i_{0}$ bzw. ${}j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${}a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von ${}p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${}p$). Wir betrachten den ${}(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von ${}fg$, dieser ist

${}c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$

Die Summanden links sind Vielfache von ${}p$ aufgrund der Wahl von ${}i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${}p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${}p$ ist, muss auch der mittlere Summand ${}a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Da ${}p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage