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Polynomring/Variablenverschiebung/Verschiebung/Aufgabe/Lösung
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Polynomring/Variablenverschiebung/Verschiebung/Aufgabe
Es sei
Ψ
{\displaystyle {}\Psi }
die Gesamtabbildung. Dann ist wegen
Ψ
(
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
+
∑
i
=
0
n
b
i
X
i
)
=
Ψ
(
∑
i
=
0
n
(
a
i
+
b
i
)
X
i
)
=
∑
i
=
0
n
(
a
i
+
b
i
)
(
X
+
c
)
i
=
∑
i
=
0
n
a
i
(
X
+
c
)
i
+
∑
i
=
0
n
b
i
(
X
+
c
)
i
=
Ψ
(
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
)
+
Ψ
(
∑
i
=
0
n
b
i
X
i
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)}&=\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}\right)}\\&=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})(X+c)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X+c)^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}(X+c)^{i}\\&=\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}+\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)}\end{aligned}}}
und
Ψ
(
s
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
)
=
Ψ
(
∑
i
=
0
n
s
a
i
X
i
)
=
∑
i
=
0
n
s
a
i
(
X
+
c
)
i
=
s
∑
i
=
0
n
a
i
(
X
+
c
)
i
=
s
Ψ
(
∑
i
=
0
n
a
i
X
i
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Psi {\left(s\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}&=\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}sa_{i}X^{i}\right)}\\&=\sum _{i=0}^{n}sa_{i}(X+c)^{i}\\&=s\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X+c)^{i}\\&=s\Psi {\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\end{aligned}}}
die Abbildung linear.
Dies ist nicht linear, da das Nullpolynom
0
{\displaystyle {}0}
auf
c
≠
0
{\displaystyle {}c\neq 0}
abgebildet wird.
Zur gelösten Aufgabe