Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring und ${}R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Fakt ist ${}R^{(s)}\subseteq R$ ein direkter Summand. Bei ${}s\geq 2$ (und $n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus

$\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$

mit ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$. Dies liegt daran, dass

${}\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$

mit ${}a_{is}\in R_{is}$ keine Lösung besitzt.