Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist der Veronese-Ring ${}R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid

${}M={\left\{m=(m_{1},\ldots ,m_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}m_{i}\in \mathbb {N} s\right\}}\subseteq \mathbb {N} ^{n}\,.$

Wenn ${}K$ eine ${}s$-te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der ${}\mu _{s}{\left(K\right)}$ auf dem ${}K^{n}$ durch skalare Multiplikation.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen