Wir betrachten den
Čechkomplex
mit der feinen durch die Monome gegebenen -Graduierung. Zu einem fixierten Tupel
-
sei
die Menge der Indizes mit negativem Eintrag. Zu diesem ist
-
Die Identifikation in der Mitte beruht darauf, dass die Komponente zu bei
gleich ist und bei
gleich . Das Monom in dieser Nenneraufnahme entspricht . Bei der Identifikation rechts entspricht dem Basiselement
.
Der Komplex zum Index entspricht also einem
aufsteigenden Binomialkomplex
zur Indexmenge zum Ring
(statt ),
allerdings ohne einen freien Summanden links für die leere Menge.
Bei
und zumindest einem negativen Exponenten steht rechts höchstens ein isoliertes . Dies wird aber
()
nicht auf abgebildet und somit hat dies keinen Beitrag zu . Wenn hingegen alle Exponenten nichtnegativ sind, so sind die Elemente gleich
-
und dieses wird genau dann auf abgebildet, wenn die Koeffizienten
übereinstimmen. Daher ist die nullte Čechkohomologie gleich dem Polynomring
-
Sei
.
Bei
ist die Situation isomorph zu einem aufsteigenden Binomialkomplex zu einer nichtleeren Indexmenge und daher ist die Homologie trivial nach
Fakt.
Daher ist die Homologie überhaupt trivial für alle zwischen
und .
Es sei also
und
.
Dies sind die mit ausschließlich negativen Exponenten. Der Komplex
(entspricht dem leeren aufsteigenden Binomialkomplex)
ist
-
und daher ist
-