Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal. Dann nennt man das Erweiterungsideal von unter dem -ten Frobeniushomomorphismus
die -Frobeniuspotenz von . Sie wird mit bezeichnet.
Üblicherweise schreibt man und somit .
Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal. Dann gelten für die Frobeniuspotenzen folgende Eigenschaften ().
- Es ist
- Wenn
ein Idealerzeugendensystem ist, so ist
- Für
und
gilt
- Dies ist eine Umformulierung der Definition.
- Die Inklusion ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Es sei dazu . Dann ist
mit und somit
also .
- Unter der gegebenen Voraussetzung ist
(mit ) und somit
also
Obwohl die Frobeniuspotenzen als Erweiterungsideale definiert sind, werden sie mit wachsendem Exponenten zunehmend kleiner.
Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal.
Dann gilt für die Frobeniuspotenzen und den gewöhnlichen Potenzen die Beziehungen (mit ).
Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger , , der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz gehören. Die Produkte mit
bilden ein Idealerzeugendensystem von . Da Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich sein. Sagen wir . Dann ist