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Potenzierung/Beidseitig/Ableitungseigenschaften/Aufgabe
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Wir betrachten die Abbildung
φ
:
R
+
×
R
+
⟶
R
+
×
R
+
,
(
x
,
y
)
⟼
(
x
y
,
y
x
)
.
{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).}
Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu
φ
{\displaystyle {}\varphi }
in einem beliebigen Punkt
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}\left(x,\,y\right)}
Bestimme die Punkte
(
x
,
y
)
{\displaystyle {}\left(x,\,y\right)}
, für die
φ
{\displaystyle {}\varphi }
regulär
ist.
Ist
φ
{\displaystyle {}\varphi }
injektiv?
Ist
φ
{\displaystyle {}\varphi }
surjektiv? Tipp: Die Funktion
e
−
1
x
⋅
ln
x
{\displaystyle {}e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x}
ist nach unten beschränkt.
Zur Lösung
,
Alternative Lösung erstellen