- Es ist
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und
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Somit ist die Jacobi-Matrix gleich
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- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
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Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich , wenn
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ist. Dies ist genau bei
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und
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bzw.
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der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit
oder
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sind regulär.
- Wir betrachten die Einschränkung von auf die durch
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gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form
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Die Ableitung davon ist
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mit einer Nullstelle an
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Wegen
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liegt dort ein isoliertes Minimum von vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher
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mit
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Daher haben
und
unter den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.
- Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form
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mit hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung
(der zweiten Komponente)
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führt auf
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und damit auf
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und somit ergibt sich
(aus der ersten Komponente)
die Bedingung
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Da nach
Aufgabe
nach unten beschränkt ist, ist auch nach unten beschränkt, und für
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unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.