Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis

Beweis

Wir werden Fakt auf anwenden. Wegen der Konvergenz für sind die Summanden nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein mit

für alle . Daher gelten für jedes die Abschätzungen

Dabei ist nach Voraussetzung

Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor ) die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.