Potenzreihe für ebene Kurven/Neilsche Parabel/Keine tangentiale Potenzreihe/Beispiel

Wir betrachten die durch ${}X^{3}-Y^{2}=0$ definierte Neilsche Parabel. Hier ist der Nullpunkt singulär, und es gibt nur eine Tangente, nämlich ${}Y=0$, diese hat aber die Multiplizität zwei, d.h. Fakt ist hier nicht anwendbar. Wir werden zeigen, dass es überhaupt keine Potenzreihenlösung im Nullpunkt mit nicht verschwindendem linearen Term gibt.

Es seien dazu ${}X=G=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots$ und ${}Y=H=b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots$ Potenzreihen, die die Kurvengleichung erfüllen. Wir setzen in die Kurvengleichung ein und erhalten für den zweiten Koeffizient die Bedingung ${}-b_{1}^{2}=0$, woraus ${}b_{1}=0$ folgt. Für den dritten Koeffizienten ergibt sich hingegen ${}a_{1}^{3}=0$, also wieder ${}a_{1}=0$.

Dennoch gibt es Potenzreihenlösungen für die Neilsche Parabel durch den Nullpunkt. Hierzu kann man einfach die monomiale Lösung $G=T^{2}$ und $H=T^{3}$ nehmen (die ja sogar eine Bijektion zwischen der affinen Geraden und der Neilschen Parabel stiftet). Der lineare Term davon ist freilich gleich ${}0$..