Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe haben wir die funktionale Identität

${}\sum _{k=0}^{N-1}e^{kz}={\frac {e^{Nz-1}}{e^{z}-1}}={\frac {e^{Nz-1}}{z}}\cdot {\frac {z}{e^{z}-1}}\,,$

wobei die beiden Faktoren rechts Potenzreihen sind. Wir bestimmen den Wert der ${}d$-te Ableitung dieser Funktion an der Stelle ${}0$ auf zwei verschiedene Arten. Einerseits ist die ${}d$-te Ableitung von ${}e^{kz}$ gleich ${}k^{d}e^{z}$ mit dem Wert ${}k^{d}$ an der Stelle ${}0$. Die Summe dieser Terme für

${}k=0,\ldots ,N-1\,$

ist also der Ausdruck, für den wir die Formel beweisen möchten. Andererseits ist die ${}d$-Ableitung nach Aufgabe gleich

$\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}.$

Die Werte an der Stelle ${}0$ der Ableitungen der Faktoren lassen sich direkt aus den Potenzreihen ablesen. Rechts sind das die ${}B_{d-\ell }$. Links steht

${}{\begin{aligned}{\frac {e^{Nz-1}}{z}}&={\frac {{Nz}+{\frac {1}{2}}N^{2}z^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{3}+\ldots }{z}}\\&=N+{\frac {1}{2}}N^{2}z+{\frac {1}{6}}N^{3}z^{2}+\ldots \\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(i+1)!}}N^{i+1}z^{i}\end{aligned}}$

und die ${}\ell$-te Ableitung davon ausgewertet an ${}0$ ist

${\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\left({\frac {e^{Nz-1}}{z}}\right)}^{(\ell )}(0)\cdot {\left({\frac {z}{e^{z}-1}}\right)}^{(d-\ell )}(0)&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d}{\ell }}{\frac {N^{\ell +1}}{\ell +1}}B_{d-\ell }\\&=\sum _{\ell =0}^{d}{\binom {d+1}{\ell +1}}{\frac {N^{\ell +1}}{d+1}}B_{d-\ell }\\&={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage