Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$.

Die Summe der ersten ${}N$ natürlichen ${}d$-ten Potenzen ist

${}\sum _{k=0}^{N-1}k^{d}={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=1}^{d+1}{\binom {d+1}{j}}B_{d+1-j}N^{j}\,,$

wobei die ${}B_{d+1-j}$ die Bernoulli-Zahlen sind.

Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad ${}d+1$ in ${}N$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen