Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Kleine Exponenten/Beispiel

Wir werten Fakt für kleine Exponenten ${}d$ unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für ${}d=1$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k&=0+1+2+\cdots +(N-1)\\&={\frac {1}{2}}{\left({\binom {2}{1}}B_{1}N^{1}+B_{0}N^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{2}}N^{2}\\&={\frac {1}{2}}N(N-1),\end{aligned}}$

was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe Aufgabe. Für ${}d=2$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{2}&={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{3}{\binom {3}{j}}B_{3-j}N^{j}\\&=B_{2}N+B_{1}N^{2}+{\frac {1}{3}}B_{0}N^{3}\\&={\frac {1}{6}}N-{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{3}}N^{3}\\&={\frac {N(1-3N+2N^{2})}{6}}\\&={\frac {N(N-1)(2N-1))}{6}},\end{aligned}}$

vergleiche auch Aufgabe. Für ${}d=3$ liefert die Formel

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{N-1}k^{3}&={\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{4}{\binom {4}{j}}B_{4-j}N^{j}\\&=B_{3}N+{\frac {3}{2}}B_{2}N^{2}+B_{1}N^{3}+{\frac {1}{4}}B_{0}N^{4}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}N^{2}-{\frac {1}{2}}N^{3}+{\frac {1}{4}}N^{4}\\&={\frac {1}{4}}N^{2}{\left(1-2N+N^{2}\right)}\\&=\left({\frac {N(N-1)}{2}}\right)^{2},\end{aligned}}$

vergleiche auch Aufgabe.