Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel

Es sei ${}S$ das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein einstelliges Relationssymbol ${}R_{k}$ enthält, und es sei

${}\alpha _{k}=R_{k}x\,.$

Wir betrachten die Menge ${}M=\mathbb {N} _{+}$, wobei wir das Relationssymbol ${}R_{k}$ durch

$R_{k}^{M}(n){\text{ genau dann, wenn }}n{\text{ ein Vielfaches von }}k{\text{ ist }}$

interpretieren. Zwei Elemente

${}m\neq n\in \mathbb {N} \,$

können dann nicht elementar äquivalent sein, da sie sich nicht gegenseitig teilen können und daher beispielsweise ${}R_{m}^{M}(m)$, also ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha _{m}$, aber nicht ${}R_{m}^{M}(n)$, also ${}I{\frac {n}{x}}\vDash \neg \alpha _{m}$, gilt. Die Äquivalenzklassen sind also einelementig. Es ist aber nicht möglich, diese Klassen durch einen Ausdruck in dieser Sprache zu charakterisieren, da die Gültigkeitsmengen zu jedem Ausdruck entweder leer sind oder unendlich viele Elemente enthalten, siehe Aufgabe.