Prädikatenlogik/Interpretationen/Terme/Textabschnitt

Bei einer Interpretation in einer Menge ${}M$ wird das Symbolalphabet, das neben den Junktoren, Quantoren, dem Gleichheitszeichen und den Klammern das Alphabet der Sprache bildet, interpretiert. Man möchte aber die gesamte Sprache in ${}M$, ausgehend von der Interpretation dieser Symbole, interpretieren. Der erste Schritt dazu ist die Interpretation der Terme. Die Wohldefiniertheit der folgenden Festlegung ergibt sich durch einen Beweis über den Aufbau der Terme, vergleiche Bemerkung.

Definition

Zu einem Symbolalphabet ${}S$ erster Stufe und einer ${}S$-Interpretation in einer Menge ${}M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden ${}S$-Term ${}t$ eine Interpretation ${}I(t)$ in ${}M$ definiert.

1. Für jede Konstante ${}c$ und jede Variable ${}x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also ${}I(c)=c^{M}$ und ${}I(x)=x^{M}$.
2. Wenn ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit den Interpretationen ${}I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn ${}f$ ein ${}n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term ${}ft_{1}\ldots t_{n}$ als ${}f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.

Damit werden alle Terme in der Grundmenge ${}M$ interpretiert. Es wird also die auf ${}K\cup V$ gegebene Interpretation auf die gesamte Termmenge ${}T$ fortgesetzt, oder, mit anderen Worten, es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K\cup V&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\\\downarrow &\nearrow &\\T&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei der Diagonalpfeil durch den horizontalen Pfeil eindeutig festgelegt ist.

In vielen Situationen bleibt die Grundmenge und die Interpretation der Konstanten und der Relations- und Funktionssymbole gleich, während man die Variablenbelegung ändern möchte. Insbesondere möchte man Interpretationen für eine einzelne Variable abändern. Dafür gibt es das Konzept der Uminterpretation.

Definition

Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ erster Stufe und eine ${}S$-Interpretation ${}I$ in einer Menge ${}M$ gegeben. Es sei ${}x$ eine Variable und ${}m\in M$ ein Element der Grundmenge. Dann versteht man unter der Uminterpretation ${}I{\frac {m}{x}}$ diejenige Interpretation von ${}S$ in ${}M$, die strukturgleich zu ${}I$ ist und für deren Variablenbelegung

${}{\left(I{\frac {m}{x}}\right)}(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}\,$

gilt.

Entsprechend schreibt man ${}I{\frac {m_{1},\ldots ,m_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für ${}{\left({\left(I{\frac {m_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {m_{2}}{x_{2}}}\right)}\ldots {\frac {m_{k}}{x_{k}}}$, wobei es bei verschiedenen Variablen nicht auf die Reihenfolge ankommt.