Prädikatenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit kann nicht sowohl ${}\alpha$ als auch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören. Wenn weder ${}\alpha$ noch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören, so ist entweder ${}\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck ${}\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$

gelten. Dies bedeutet

$\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$

und

$\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma \vdash \beta$

folgt. Dies bedeutet aber, dass ${}\Gamma$ widersprüchlich ist.
(2). Es sei ${}\Gamma \vdash \alpha$. Nach (1) ist ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist ${}\alpha \in \Gamma$.
(3). Die Richtung von links nach rechts folgt aus (2). Es seien also ${}\alpha ,\beta \in \Gamma$. Da ${}\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta \right)}$ nach Aufgabe eine Tautologie ist, folgt ${}\alpha \wedge \beta \in \Gamma$ nach Teil (2).

Zur bewiesenen Aussage