Prägarben/Riemannsche Fläche/Halme/Einführung/Textabschnitt

Eine grundlegende Idee von Prägarben und Garben ist, lokale und globale Eigenschaften von geometrischen Objekten sinnvoll zu trennen und ihr Wechselspiel zu verstehen. Eine lokale Eigenschaft ist beispielsweise eine, die auf „kleinen“ offenen Mengen gilt. Oft möchte man aber kleine offene Mengen durch noch kleinere offene Mengen ersetzen, insbesondere, um das Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes verstehen zu können. Dafür führen wir die folgenden Konzepte ein.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Der Kolimes bedeutet hier einfach

${}\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}=\biguplus _{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}/\sim \,.$

Dabei ist ${}\sim$ auf der disjunkten Vereinigung aller Schnitte zu irgendwelchen offenen Umgebungen von ${}P$ diejenige Äquivalenzrelation, bei der ${}(U,s)$ und ${}(V,t)$ zueinander in Relation stehen, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq U\cap V$ derart gibt, dass

${}s{|}_{W}=t{|}_{V}\,$

ist.

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$ und jedem Punkt ${}P\in U$ ein eindeutig definiertes Element ${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$, das der Keim von ${}s$ im Punkt ${}P$ heißt. Die Abbildung

${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P},\,s\longmapsto s_{P},$

heißt Restriktionsabbildung und wird mit ${}\rho _{U,P}$ bezeichnet. Zu ${}P\in V\subseteq U$ kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\rho _{U,V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {F}}(V)&\\&\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\searrow &\downarrow \rho _{V,P}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Wenn ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe von Gruppen oder von Ringen ist, so übertragen sich diese Strukturen auf die Halme, diese sind also wieder Gruppen bzw. Ringe. Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche kann man die Halme einfach bestimmen.

Lemma

Zu einem Punkt ${}P\in X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist der Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen

isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.

Beweis

Zu ${}P\in X$ gibt es ein Kartengebiet ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$. Diese induziert für jede offene Menge ${}U'\subseteq U$ einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\Gamma {\left(\alpha (U'),{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{X}\right)},\,h\longmapsto h\circ \alpha ,$

und diese kommutieren mit den Restriktionsabbildungen. Somit erhält man auch einen Isomorphismus zwischen dem Halm von ${}{\mathcal {O}}_{X}$ in ${}P$ und dem Halm von ${}{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }$ in ${}\alpha (P)$. Eine holomorphe Funktion, die in einer offenen Umgebung

${}Q\in V\subseteq {\mathbb {C} }\,$

definiert ist, besitzt eine Potenzreihenentwicklung im Punkt ${}Q$ mit einem positiven Konvergenzradius. Umgekehrt definiert eine konvergente Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius eine holomorphe Funktion. Diese Korrespondenz ist bijektiv.

$\Box$