Prämaß/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als ${}0$ definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da ${}T$ die disjunkte Vereinigung aus ${}S$ und ${}T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass ${}S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen ${}S\setminus T,\,T\setminus S$ und ${}S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben ${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$. Dann gilt offensichtlich ${}\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle ${}n$, wobei die Vereinigungen der ${}S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

${}{\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}$

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen ${}T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels ${}S_{0}=T_{0}$ und ${}S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$. Damit ist

${}T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,$

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt ${}\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$. Entsprechend gilt

${}T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,$

und daher

${}\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.$

(6) Wir setzen ${}S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$. Da ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Folge ist, ist ${}S_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=T_{0}\setminus {\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}=T_{0}\setminus T\,.$

Daher gilt

${}\mu {\left(T_{0}\setminus T\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu {\left(T_{0})-\mu (T_{n})\right)}=\mu (T_{0})-\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,$

nach Teil (5). Somit ist (da ${}\mu (T_{0})<\infty$ ist)

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=\mu (T_{0})-\mu (T_{0}\setminus T)=\mu (T)\,.$

Zur bewiesenen Aussage