Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Beweis
Beweis
Das Produkt divergiert für aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist
Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist
für . Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das
Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen
wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt
Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe unbeschränkt, was die Behauptung ist.