Produkt von Maßräumen/Zwei Dichten/Produktdichte/Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume, und es seien

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen ${}g\mu$ und ${}h\nu$. Zeige, dass auf ${}M\times N$ das Produktmaß ${}(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

$gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),$

bezüglich ${}\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.

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