Produkt von Maßräumen/Zwei Dichten/Produktdichte/Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ -endliche Maßräume, und es seien

g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

und

h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen ${}g\mu$ und ${}h\nu$ . Zeige, dass auf ${}M\times N$ das Produktmaß ${}(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),

bezüglich

{}\mu \otimes \nu

übereinstimmt.