Produktfolge/Einhalb mal Dreiviertel/Nullkonvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zusätzlich die Folge

${}y_{n}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \cdot {\frac {2n}{2n+1}}\,.$

Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor ${}<1$ ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Fakt die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen ${}x$ bzw. ${}y$. Die Produktfolge ist

${}{\begin{aligned}x_{n}y_{n}&={\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdots {\frac {2n-1}{2n}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdots {\frac {2n}{2n+1}}\\&={\frac {1}{2n+1}}.\end{aligned}}$

Diese Folge konvergiert gegen ${}0$, somit ist

${}xy=0\,$

nach Fakt  (2). Ferner ist

${}y_{n}>x_{n}\,,$

da man die beteiligten ${}n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist

${}y\geq x\,$

und daher ist

${}x=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe