Produktraum/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nehmen zuerst ${}f$ und ${}g$ als nichtnegativ an. Dann gilt nach Fakt

${}{\begin{aligned}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )&=\int _{M}{\left(\int _{N}(fg)(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x)g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f(x){\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\cdot {\left(\int _{M}f(x)\,d\mu (x)\right)}.\end{aligned}}$

Für beliebige integrierbare Funktionen folgt daraus, angewendet auf die Betragsfunktionen, zunächst die Integrierbarkeit des Produkts und daraus mit derselben Rechnung die Formel.

Zur bewiesenen Aussage