Produktraum von Wahrscheinlichkeitsräumen/Zylinderalgebren/Unabhängig/Aufgabe

Es seien ${}(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})$ und ${}(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})$ zwei Wahrscheinlichkeitsräume und ${}(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ ihr Produktraum. Zeige, dass die „Zylinderalgebren“

${\mathcal {Z}}_{1}={\left\{S\times \Omega _{2}\mid S\in {\mathcal {A}}_{1}\right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathcal {Z}}_{2}={\left\{\Omega _{1}\times T\mid T\in {\mathcal {A}}_{2}\right\}}$

unabhängig sind.

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