Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Syz2/Ansatz/Fermat-Flächen

Bei Fermat-Flächen ${}x^{\delta }+y^{\delta }+z^{\delta }+w^{\delta }=0$ hat man

$F_{1}=\oplus _{4}{\mathcal {O}}(-1){\text{ und }}F_{2}=\oplus _{6}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-\delta ).$

Daher ist der Wechselsummenterm gleich

${\frac {\delta }{6}}(-6\cdot 8-\delta ^{3}+4)={\frac {\delta }{6}}(-44-\delta ^{3}).$

Aus der bekannten Formel für die Frobenius-Hilbert-Kunz Multiplizität ${}{\frac {2\delta }{3}}$ ergibt sich für die ${}H^{2}$-Frobenius Asymptotik der Limes

${\frac {2\delta }{3}}+{\frac {\delta }{6}}(44+\delta ^{3})=8\delta +{\frac {\delta ^{4}}{6}}$

bzw. wenn man durch den Rang (also ${}4$) dividiert der Grenzwert

$2\delta +{\frac {\delta ^{4}}{24}}.$

Dies ergibt bei

${}\delta =2$: ${}4,6666$

${}\delta =3$: ${}9,375$

${}\delta =4$: ${}18,666$

${}\delta =5$: ${}36,0416$