Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Schnee/Borel and Gerstl 1994

Borel & Gerstel 1994

Borel, C.C.; Gerstl, S.A.W., Nonlinear Spectral Mixing Models for Vegetative and Soil Surfaces Remote Sensing of Environment, 47: 403-416, 1994

In dieser Veröffentlichung aus dem Jahr 1994 wird die Bedeutung der nichtlinearen Zusammensetzung der Gesamtreflexion über natürlichen Oberflächen herausgearbeitet und es werden Modelle zur Beschreibung der Reflexion entwickelt.

Einschichtiger Vegetationsbestand über homogener Oberfläche

Zunächst wird der einfachste Fall betrachtet. Der Bestand besteht nur aus einer Vegetationsschicht über einer homogenen, nach dem Lambertschen Gesetz reflektierenden Oberfläche. Der LAI entspricht in diesem Fall auch dem Flächenanteil der Blätter in Vertikalprojektion, da sich die Blätter nicht vertikal überlagern können. Es sind drei Umsatzflächen zu betrachten

Oberrand der Vegetation

$B_{1}=\rho \cdot LAI\cdot E_{0}+\tau \cdot LAI\cdot B_{3}$

Die gesamte aufwärts gerichtete Strahlungsflussdichte B₁ ergibt sich aus der Summe der reflektierten Solarstrahlung
( $\rho$ – Reflexionsgrad der Blätter, LAI – |Leaf Area Index, E₀ – solare Einstrahlung) und der transmittierten Abstrahlung der Erdoberfläche ( $\tau$ – Transmission des Bestandes, B₃ – gesamte aufwärts gerichtete Strahlung der untersten Umsatzfläche).

Unterrand der Vegetation

$B_{2}=\tau \cdot LAI\cdot E_{0}+\rho \cdot LAI\cdot B_{3}$

Ein Teil der solaren Einstrahlung gelangt durch den Bestand in Richtung Erdoberfläche. Ergänzt wird diese Strahlungskomponente um den Anteil der Abstrahlung des Bodens, der an der Vegetation reflektiert wird.

Erdoberfläche

$B_{3}=\rho _{s}\cdot (1-LAI)\cdot E_{0}+\rho _{s}\cdot B_{2}$

Die nach oben gerichtete Strahlung am Boden setzt sich zusammen aus dem reflektierten Anteil der Solarstrahlung, die nicht durch die Vegetation beeinflusst wurde und dem am Boden reflektierten Anteil ( $\rho _{s}$ ) der vom Bestand in Richtung Erdoberfläche abgegebenen Komponente.

Werden die 3 Gleichungen zusammengeführt, lässt sich eine analytische Lösung für jede Strahlungskomponente bestimmen.

$B_{1}=E_{0}\cdot LAI\cdot \rho +E_{0}\cdot LAI\cdot \tau \cdot \rho _{s}\cdot {\frac {1+LAI\cdot (\tau -1)}{1-\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI}}$

$B_{2}=E_{0}\cdot LAI\cdot {\frac {\tau +\rho \cdot \rho _{s}\cdot (1-LAI)}{1-\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI}}$

$B_{3}=E_{0}\cdot \rho _{s}{\frac {1+LAI\cdot (\tau -1)}{1-\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI}}$

Alle drei Gleichungen enthalten einen Term

${\frac {1}{1-\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI}}=1+\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI+(\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI)^{2}+(\rho \cdot \rho _{s}\cdot LAI)^{3}...$

Dieser beschreibt die Mehrfachreflexion zwischen Boden und Vegetationsschicht.

Durch Addition aller Strahlungskomponenten kann die bidirektionale Reflexionsfunktion über einem einschichtigen Vegetationsbestand abgeleitet werden

$f(\theta _{i},\phi _{i},\theta _{r},\phi _{r})={\frac {1}{E_{0}\cdot \pi }}\cdot (P_{leaf}^{sun}(\theta _{r},\phi _{r})\cdot B_{leaf}^{sun}+P_{soil}^{sun}(\theta _{r},\phi _{r})\cdot B_{soil}^{sun}+P_{soil}^{shade}(\theta _{r},\phi _{r})\cdot B_{soil}^{shade})$

Diese ist abhängig von der Beobachtungsgeometrie (Sonnenzenit- ( $\theta _{i}$ ) und –azimutwinkel ( $\phi _{i}$ ), Satellitenzenit- ( $\theta _{r}$ ) und -azimutwinkel
( $\phi _{r}$ )). Die Wahrscheinlichkeiten sonnenbeschienene bzw. beschattete Flächen zu sehen ergeben sich in Abhängigkeit vom LAI. Über mehrere Zwischenschritte wird die Reflexionsfunktion für beliebige Beobachtungsgeometrien abgeleitet.

$f(\theta _{i}\neq \theta _{r},\phi _{i}\neq \phi _{r})={\frac {1}{E_{0}\cdot \pi }}\cdot (B_{1}+(1-LAI)\cdot B_{3})$

Die Beziehung stellt ein nichtlineares Mischungsmodell mit den Komponenten Reflexion des Bodens $\rho _{s}$ und Reflexion der Vegetation $\rho$ dar. Die Gleichung kann analytisch z.B. nach dem LAI aufgelöst werden, der dann den Vegetationsanteil innerhalb einer Rasterzelle beschreibt.

Validierung

Die modellierten Reflexionsgrade werden mit den Ergebnissen eines linearen Mischungsansatzes unter Verwendung der Reflexionsspektren für Baumwolle verglichen. Im linearen Fall ergibt sich die Reflexion folgendermaßen

$f(\theta _{i}\neq \theta _{r},\phi _{i}\neq \phi _{r})={\frac {1}{\pi }}\cdot (LAI\cdot \rho +(1-LAI)^{2}\cdot \rho )$

Bei kleinen Reflexionsgraden unterscheiden sich die durch lineares und nichtlineares Modell simulierten Reflexionen nur wenig. Die Terme höherer Ordnung in der Beschreibung der Mehrfachreflexion sind in diesem Fall vernachlässigbar. Für größere Reflexionsgrade ergeben sich dagegen deutliche Unterschiede. Diese sind abhängig vom LAI. Für LAI um 0, wenn also kaum Vegetationsbedeckung vorhanden ist, unterscheiden sich die Reflexionsgrade nur sehr wenig. Ein Maximum der Differenz zwischen linearem und nichtlinearem Modell stellt sich dagegen bei LAI um 0,5 ein. Im nahen Infrarot ist die nichtlinear bestimmte Reflexion dann etwa doppelt so groß, wie im linearen Fall. Diese Werte wurden auch experimentell belegt (Roberts (1992)). In einem weiteren Schritt wurden Vegetationsindizes (NDVI, VI und SAVI) anhand der Ergebnisse des nichtlinearen Modells für verschiedene LAI bestimmt und mit den Messungen von Huete et al. (1985) verglichen. Das nichtlineare Modell gibt die Indizes korrekt wieder, so dass davon auszugehen ist, dass das Reflexionsspektrum korrekt abgebildet wird. Die Ergebnisse des linearen Modells sind dagegen deutlich schlechter.

Nichtlineare Mischung für einen Bestand aus N Schichten

Die Reflexion des gesamten Bestandes kann als Verhältnis der gesamten Abstrahlung nach oben zur solaren Einstrahlung beschrieben werden

$f(\theta _{i}\neq \theta _{r},\phi _{i}\neq \phi _{r})={\frac {I_{1}^{+}}{E_{0}}}$

Die vertikalen Strahlungsflussdichten der n-ten Schicht nach oben (+) bzw. unten (-)ergeben sich ähnlich zum einschichtigen Modell.

$I_{n}^{+}=C_{1}\cdot (1-b)^{n-1}+C_{2}\cdot (1+b)^{n-1}$

$I_{n}^{-}=C_{3}\cdot (1-b)^{n-1}+C_{4}\cdot (1+b)^{n-1}-(1-LAI)^{n}\cdot E_{0}$

$I_{N+1}^{+}=\rho _{s}\cdot (C_{3}\cdot (1-b)^{N-1}+C_{4}\cdot (1+b)^{N-1})$

Die oberste Vegetationsschicht ist durch den Index 1, die Erdoberfläche durch den Index N+1 gekennzeichnet. Die Modellparameter sind als Funktionen in Abhängigkeit von LAI, solarer Einstrahlung, Transmissivität der einzelnen Schichten sowie den Reflexionsspektren der Vegetationsschichten und des Bodens zu beschreiben. Die spektrale BRDF eines geschichteten Vegetationsbestandes kann wiederum durch Addition der einzelnen Strahlungskomponenten beschrieben werden.

$f(\theta _{i},\phi _{i},\theta _{r},\phi _{r})={\frac {1}{E_{0}}}\cdot \sum _{n=1}^{N+1}{\frac {1}{\pi }}[P_{n}^{sun}(\theta _{r},\phi _{r})\cdot B_{n}^{sun}+P_{n}^{shade}(\theta _{r},\phi _{r})\cdot B_{n}^{sun}]$

Die Anteile beschatteter und beleuchteter Flächen in den einzelnen Schichten werden von den Autoren mittels |Raytracing bestimmt.

Validierung

Anhand des Modells werden wie zuvor die Vegetationsindizes bestimmt und mit den experimentellen Ergebnissen von Huete et al. (1985) verglichen. Die Übereinstimmung zwischen Modell und Messungen wird für gut befunden. Mit dem Mehrschichtmodell wird weiter die Abhängigkeit der Indizes vom LAI untersucht. Es wird festgestellt, dass eine signifikante Abhängigkeit für LAI kleiner 2 besteht. Bei größeren LAI ist dagegen eine Sättigung der Vegetationsindizes zu erkennen. Die Autoren nehmen an, dass sich die Blattfläche mit Vegetationsindizes, die auf der Grundlage ihres Modells ermittelt wurden besser beschreiben läst, da durch dieses Mehrfachstreuung und Transmission berücksichtigt werden.

Nichtlineare Mischung für rauhe Oberflächen

Als Beispiel einer rauen Oberfläche geben die Autoren ein gepflügtes Feld mit offen liegenden Felsbrocken an. Da zwischen den Objekten Mehrfachstreuung stattfindet, können auch in diesem Fall die Reflexionsgrade der Oberfläche durch lineare Ansätze nicht korrekt beschrieben werden. Es wird ein Modell für die Reflexion einer Oberfläche aus zwei unterschiedlichen Materialien mit Reflexionsgraden $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ erstellt. Entsprechend dem Flächenanteil f für die erste Komponente kann der mittlere Reflexionsgrad der Gesamtfläche bestimmt werden.

${\bar {\rho }}=f\cdot \rho _{1}+(1-f)\cdot \rho _{2}$

Die nach oben gerichtete Abstrahlung der beiden Materialien wird wie folgt beschrieben:

$B_{1}={\bar {\rho }}\cdot E_{0}\cdot cos\theta _{1}+{\bar {\rho }}\cdot F_{12}\cdot B_{2}$

$B_{2}={\bar {\rho }}\cdot E_{0}\cdot cos\theta _{2}+{\bar {\rho }}\cdot F_{21}\cdot B_{1}$

Dabei bezeichnet $\theta$ die Neigung der Oberflächen und F den View Factor zwischen den Oberflächen. Um die Reflexion über der gesamten Oberfläche zu beschreiben, werden die Strahlungskomponenten an einer Oberfläche bilanziert, die sich über beide Materialen erstreckt. Dabei wird eine senkrchte Beleuchtung von oben vorausgesetzt.

$\rho (\theta _{i}=0,\phi _{i}=0,\theta _{r},\phi _{r})={\frac {B}{E_{0}}}={\frac {{\bar {\rho }}\cdot cos\theta +{\bar {\rho }}^{2}\cdot (1-cos\theta )\cdot cos\theta }{1-({\bar {\rho }}\cdot (1-cos\theta ))^{2}}}$

Bei linearer Mischung ergibt sich dagegen folgende Gleichung für die Reflexion der Gesamtfläche

$\rho ={\bar {\rho }}\cdot cos\theta$

Validierung

Zur Überprüfung des nichtlinearen Ansatzes für vegetationsfreie Bereiche wurden die Modellergebnisse experimentell überprüft. Dazu wurden zwei geneigte Platten gegenüberliegend angeordnet und mit verschieden farbigen Papieren bespannt. Es wurden die Reflexionsgrade über den Einzelflächen und des gesamten Systems gemessen. Die Reflexion des gesamten Systems wuchs exponentiell an, wenn die Reflexion der Einzelflächen zunahm. Dieser Effekt konnte durch das nichtlineare Modell gut abgebildet werden, während der lineare Ansatz die Reflexion des Gesamtsystems deutlich unterschätzte. Die Ursache für den exponentiellen Anstieg ist im Anteil der Mehrfachreflexion zwischen den Platten zu suchen, der zunimmt je heller die beiden Oberflächen sind. Daraus wird geschlossen, dass die Reflexionsspektren natürlicher heller und rauer Oberflächen deutlich von im Labor an glatten Proben gemessenen Werten abweichen können. Zur weiteren Unterstützung ihrer Hypothese wurden von den Autoren Beispielrechnungen mit nichtlinearer Mischung der Reflexionsgrade von Oberflächen, die aus zwei bzw. drei Mineralen zusammengesetzt sind, durchgeführt. Die Reflexionspektren der einzelnen Minerale wurden Labormessungen entnommen. Die Reflexion der Mineralmischung war bei Verwendung eines nichtlinearen Ansatzes deutlich größer als beim linearen Ansatz.

Schlussfolgerung

Durch Verwendung eines nichtlinearen Ansatzes sollten genauere Ergebnisse bei der Beschreibung der Reflexionsgrade von inhomogenen Oberflächen erzielbar sein. Die Autoren gehen davon aus, dass die Entmischung auch bei Verwendung des nichtlinearen Ansatzes möglich ist, da als zusätzlicher Parameter nur der View Factor F bestimmt werden muss. Dieser könnte als einheitlicher Parameter zur Beschreibung der Oberflächenrauhigkeit herangezogen werden.

Literatur

Borel, C.C.; Gerstl, S.A.W., Simulation of partially obscured scenes using the radiosity method Proc. SPIE, 1486: 271-277, 1991
Huete, A.R., Jackson, R.D., Post, D.F., Spectral Response of a plant canopy with diffrent soil backgrounds Remote Sensing of Environment, 17:37-53, 1985
Roberts, D.A., Separating spectral mixtures of vegetation and soils, Ph.D. thesis, University of Washington, 1992

--Rastafari 20:24, 4. Aug. 2007 (CEST)