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Bezüge zur Zahlentheorie

Hier sind zunächst die irrationalen Zahlen interessant. Weil Peirce von einem Kontinuum ausging, sollte es möglich sein auch irrationale Zahlen in der Menge $\mathbb {V}$ zu finden. Natürlich ist das nicht der Fall, denn es wurde bereits gezeigt, dass $\mathbb {V}$ nur abzählbar unendlich ist.

Trotzdem, oder gerade deswegen, sind die Peirce-Zahlen ein wertvolles Hilfsmittel bei der Untersuchung einiger Probleme der Zahlentheorie. So konnte eine Hülle der rationalen Werte ermittelt werden und die Erdös-Strauss-Vermutung auf eine sehr effektive Weise untersucht werden.

Die folgenden Abschnitte zeigen die Grundlagen, mit denen die Eigenschaften der Peirce-Zahlen für die genannten Bereiche nutzbar gemacht wurden.

Der Goldene Schnitt

Der goldene Schnitt ist eine der interessantesten irrationalen Zahlen. Dieser Wert ist natürlich kein Element der Menge $\mathbb {V}$, aber ein Element aus $\mathbb {V}$ kommt ihm nahe. Die Komponenten dieses Elements können als Hülle um die rationalen Werte angesehen werden, wie in den folgenden Darstellungen gezeigt.

Hier hat die Peice-Folge im Intervall [0 ... 1] ihre höchsten Dichten, die Differenz benachbarter Elemente ist also besonders klein. Die Voraussetzungen für diese Äußerung sind:

1. Es existiert genau ein Element mit maximalem Zähler und Nenner.
2. Die Position (Ordinalzahl) dieses Elements ist stets berechenbar.
3. Dieses Element hat den goldenen Schnitt als Grenzwert.

Es ist einfacher das unter 1. genannte Element als "Maxelement" zu bezeichnen. Damit ist natürlich kein Maximalelement im Sinne eines Maximalwertes gemeint. Das Maxelement $q_{max}$ der Generation g hat folgende Eigenschaften:

$q_{max}={\frac {z_{max}}{n_{max}}}\,;\ z_{max}=max\left(z_{i}\right),\ n_{max}=max\left(n_{i}\right)\,;\ i=1...|\mathbb {V} _{g}|$

Existenz des Maxelements

In jeder Generation existiert genau ein Element mit den genannten "Max"-Eigenschaften. Das erklärt sich aus der Farey-Addition. Aus der Anfangssituation mit zwei Elementen ergibt sich der neue Zähler aus 0+1 und der neue Nenner aus 1+1.

Das neu hinzukommende Element ist ${\frac {1}{2}}$. Außerdem ist dieses Element Nachbar des alten Maxelements ${\frac {1}{1}}$. Die nächste Generation addiert wieder das aktuelle Maxelement mit dem vorherigen Maxelement und liefert ${\frac {2}{3}}$.

Weil stets das aktuelle Maxelement mit dem vorangegangenen benachbart ist, muss das nächste Maxelement immer auch Nachbar des aktuellen sein. Damit kann es stets nur ein Maxelement pro Generation geben.

Positionierung des Maxelements

Die Position des Maxelements muss auf die Mächtigkeit bezogen sein. Weil aber die Elementanzahl mit jeder Generation exponentiell zunimmt, muss erst die Positionierung innerhalb der Generationen bestimmt werden.

Der Unterschied zwischen Positionierung und Position besteht hier darin, dass unter Positionierung etwas absolutes zu verstehen ist und unter Position etwas relatives. Das Element ${\frac {0}{1}}\$ hat (immer) die Positionierung 1 und auch immer die erste Position. Das Element ${\frac {1}{1}}\$ hat die Positionierung $2^{g}+1\$ und die Position $1\cdot |\mathbb {V} _{g}|$.

Ausgehend von der Generation mit genau einer Lücke

$\left\{{\frac {0}{1}},{\color {Red}\mathbf {\frac {1}{1}} }\right\}$

ergibt sich in der Folgegeneration

$\left\{{\frac {0}{1}},{\color {Red}\mathbf {\frac {1}{2}} },{\frac {1}{1}}\right\}$

Die Position ist jetzt links vom alten Maxelement. Eine Generation weiter

$\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\color {Red}\mathbf {\frac {2}{3}} },{\frac {1}{1}}\right\}$

ist sie rechts vom alten Maxelement. Außerdem ergibt sich ein wachsender Abstand von der unteren und oberen Intervallgrenze. Diese Abstände nehmen mit jeder weiteren Generation zu, aber in unterschiedlichem Maß.

Die Position ist durch die Anzahl der Lücken vor dem Maxelement bestimmt. Ihre Anzahl ist (1, 3, 5, 11, ...).

Sei f (Fehlstelle) die Anzahl der Lücken in jeder Generation, so kann f mit der Generation indiziert werden und es ergibt sich:

$f_{1}=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,=1+{\color {Red}0\cdot 2}=2\cdot \left(1+0\cdot 2\right)-1=1$

$f_{2}=1+2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,=1+{\color {Red}1\cdot 2}=2\cdot \left(1+{\color {Blue}0\cdot 2}\right)+1=3$

$f_{3}=1+2+2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,=1+{\color {Red}2\cdot 2}=2\cdot \left(1+{\color {Blue}1\cdot 2}\right)-1=5$

$f_{4}=1+2+2+2+2+2=1+{\color {Red}5\cdot 2}=2\cdot \left(1+{\color {Blue}2\cdot 2}\right)+1=11$

Die Rekursion folgt dem allgemeinen Ansatz:

$f_{0}\,=1$

$f_{1}\,=2\cdot f_{0}-1=1$

$f_{2}\,=2\cdot f_{1}+1=3$

$f_{3}\,=2\cdot f_{2}-1=5$

$f_{4}\,=2\cdot f_{3}+1=11$

Die generalisierte Form zur Bestimmung der dem Maxelement vorangehenden Lücken ergibt sich durch Entfernung von $f_{0}\$ zu

$f_{g}=2\cdot f_{g-1}+{\left(-1\right)}^{g}\,;\ g\in \mathbb {N} \setminus 0$

Das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 hat seine Ursache ebenfalls in den Peirce-Zahlen.

Der Grenzwert

Bei jeder neuen Generation wechselt das neue Maxelement seine Position zum alten. Das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 erklärt sich aus der Differenz von altem und neuem Maxelement.

Maxelemente werden wie alle anderen auch berechnet. Die Addition der Zähler und der Nenner benachbarter Brüche führt beim Maxlement zwangsläufig dazu, dass ein neues Maxelement stets unmittelbarer Nachbar des alten ist. Über die Generationen ergibt sich eine Folge von Maxelementen.

${\frac {0}{1}},\ {\frac {1}{1}},\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {2}{3}},\ {\frac {3}{5}},\ {\frac {5}{8}},\ ...$

Zähler und Nenner der Maxelemente entsprechen den Fibonacci-Zahlen. Die Quotienten dieser Folge von Maxwerten haben den bekannten Grenzwert:

$\Psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$

Die Differenz zweier Elemente aus dieser Folge entspricht der Differenz der Maxelemente aus zwei aufeinander folgenden Generationen der Peirce-Zahlen.

Sei ${\frac {z_{g}}{n_{g}}}$ das Maxelement der Generation g, so gilt für die Differenz:

${\frac {z_{g}}{n_{g}}}-{\frac {n_{g}}{n_{g}-{z_{g}}}}$

Weil $z_{g}\$ und $n_{g}\$ aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind gilt:

${\frac {z_{g}}{n_{g}}}-{\frac {n_{g}}{n_{g}-{z_{g}}}}={\frac {F_{g}}{F_{g+1}}}-{\frac {F_{g+1}}{F_{g+2}}}={\frac {\boldsymbol {F_{g}\cdot F_{g+2}-F_{g+1}^{2}}}{F_{g+1}\cdot F_{g+2}}}$

Der fett dargestellte Zähler ist die "Simpson"- oder auch "Catalan"-Identität. Hierbei gilt stets:

${F_{g}\cdot F_{g+2}-F_{g+1}^{2}}={\left(-1\right)}^{g}+1$

Dadurch erklärt sich das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 bei der Ermittlung der Position (vorheriger Abschnitt).

Position des Maxelements

Für die Generationen g gilt, dass von der Farey-Entwicklung ausgegangen wird. Die Zählung beginnt bei 0 (null) mit zwei Startelementen, den Grenzen des Intervalls [0 ... 1].

Die Position des Maxelements in der Generation g $p_{g}\$ entspricht der Anzahl der Lücken plus 1. Sei $f_{g}\$ die Anzahl der Lücken, ergibt sich die Position aus

$p_{g}=f_{g}+1\,;\ g\in \mathbb {N} \setminus 0$

Für die Ordinalzahl gilt $2|p_{g}\$.

Werden mehrere Genrationen untersucht, so ergibt sich für die Position des Maxelements ungefähr ${\frac {2}{3}}\cdot |\mathbb {V} |$. Wird die Parität der Generation g berücksichtigt, gilt für ungerade Generationen:

${\frac {p_{g}}{|\mathbb {V} _{g}|}}={\frac {p_{g}}{2^{g}+1}}={\frac {2}{3}}\,;\ 2\nmid g$

Diese Beobachtung muss für alle ungeraden Generationen bewiesen werden. Hier wird das Verfahren der vollständigen Induktion benutzt. Der Nenner folgt dabei aus

$|\mathbb {V} _{g}|=2^{g}+1=2^{g}+2^{0}=2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+...+2^{1}+2^{0}+2^{1}$.

Auch wenn der folgende Beweis recht einfach zu führen ist, steigt er etwas tiefer in die Mengentheorie ein. Die Generation g ist zwar eine natürliche Zahl, darf hier aber nicht als Ordinalzahl (für die Generationen) angesehen werden. Wäre sie Ordinalzahl, könnte sie bis $\omega \$ laufen. Dann wäre der zu bestimmende Faktor auf die Mächtigkeit $2^{\omega }\$ bezogen und damit sinnlos. Auch für einfaches $\omega \$ ist der folgende Beweis nicht zulässig, denn es wären Berechnungen mit transfiniten Ordinalzahlen erforderlich.

Induktionsansatz mit $g=1\$

${\frac {2^{1}}{2^{0}+2^{1}}}={\frac {2}{3}}$.

Induktionsschritt

${\frac {\left(2^{3}-2^{2}\right)+2^{1}}{\left(2^{2}+2^{1}\right)+2^{0}+2^{1}}}={\frac {2}{3}}$,

erfolgt wegen $2|p_{g}\$ von g auf g+2.

Induktionsschluß von g

${\frac {2^{g}-2^{g-1}+2^{g-2}-2^{g-3}...-2^{2}+2^{1}}{2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+...+2^{1}+2^{0}+2^{1}}}={\frac {2}{3}}$

auf g + 2

${\frac {2^{g+2}-2^{g+1}+2^{g}-2^{g-1}+2^{g-2}-2^{g-3}...-2^{2}+2^{1}}{2^{g+1}+2^{g}+2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+...+2^{1}+2^{0}+2^{1}}}={\frac {2^{g+2}-2^{g+1}+2}{2^{g+1}+2^{g}+3}}={\frac {2\cdot 2^{g}+2}{3\cdot 2^{g}+3}}={\frac {2}{3}}$

qed.

Der goldene Schnitt gilt deshalb als Hülle der rationalen Werte, weil die Werte des rationalen Intervalls [0 ... 1] an dieser Stelle so aufgeteilt werden können, dass ihre Positionen in der Ebene erhalten bleiben. Damit sind interessante Einblicke in die verborgenen Strukturen der rationalen Werte möglich.

Die folgende Abbildung zeigt die Werte von 14 Generationen der Peirce-Folge. Weil das Maxelement eine Koordination nach Zähler und Nenner zulässt (hier haben beide Komponenten ihr Maximum in der Generation), ist der Ort von jedem Bruch auf dieser Ebene eindeutig bestimmt. Die dritte Koordinate ist der Wert des Elements. Die Darstellung wurde so gedreht, dass wenigstens ein Minimum an Struktur erahnt werden kann.

Die Ansicht wurde so gewählt, dass bereits die ungleichmäßige Verteilung deutlich wird. Wird diese "Wolke" auf die begrenzenden Ebenen des Darstellungsraums projiziert, ergeben sich weitere interessante Details (s.u.).

Ähnlichkeiten zur Eulerschen φ-Funktion Wegen der Forderung nach Teilerfremdheit bestehen Ähnlichkeiten zur Eulerschen φ-Funktion. Wie ähnlich zeigt folgende Abbildung: Ähnlichkeiten zu Eulers Phi

Weitere Darstellungen Eine räumliche Darstellung gestattet eine weitere Übersicht. Hier werden 10 Generationen auf die drei Begenzungsebenen des Darstellungsraums gezeigt. Alle Projektionen