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Eigenschaften der Peirce-Zahlen

Die Eigenschaften der Peirce-(Zahlen)Folge sind abhängig von der Interpretation. Als geordneten Menge von Elementen handelt es sich um benachbarte Individuen. Diese Interpretation wird auch bei den natürlichen Zahlen verlangt, sofern sie über die Peano-Axiome erzeugt werden.

Die folgenden Abschnitte zeigen einige Eigenschaften. Auch die Widerlegung der Vermutung, es handele sich um ein Kontinuum, erfolgt über die hier beschriebenen Eigenschaften.

Monotonie

Durch die Erzeugungsvorschrift von Peirce ergibt sich ein streng monotoner Verlauf der Elemente. In diesem Fall ist es einfacher und formal sogar korrekter, von einer Folge zu sprechen.

Sei $e_{i}\$ ein Element der Peirce-Folge mit Index i. Es gilt stets:

$e_{i-1}<e_{i}<e_{i+1}\,;\ i\in \mathbb {N}$

Dichte

Die Dichte meint den Abstand von zwei unmittelbar benachbarten Elementen. Sie wird durch einfache Bildung der Differenz ermittet.

$d_{i-1}={\frac {z_{i}}{n_{i}}}-{\frac {z_{i-1}}{n_{i-1}}}={\frac {1}{n_{i}\cdot n_{i-1}}}\,;\ i\in \mathbb {N}$

Die Dichte ist nicht konstant. Folgende Abbildung zeigt die Änderung der Differenzen. Zur besseren Veranschaulichung wurden die einzelnen Punkte miteinander verbunden.

Teufelstreppe als Argument für ein Kontinuum

Eine Untersuchung der Werte zeigt einen treppenartigen Verlauf, der mit dem der Cantor-Menge (ein weiteres Kontinuum) weitgehend übereinstimmt. In der modernen Mathematik gilt, dass

jede Zahlenmenge, die eine Cantor-Menge enthält, ein Kontinuum ist.

In der Umsetzung ergibt sich folgende Darstellung, wobei wieder die Punkte durch Linien verbunden sind:

Es handelt sich um die sog. Teufelstreppe. Die Darstellung der Werte erfolgt in Abhängigkeit der Ordinalzahlen. An den entsprechenden Positionen befindet sich jeweils eine Peirce-Zahl, deren jeweiliger Wert entlang der senkrechten Achse aufgetragen ist.

Summen der Differenzen

Die Summe aller Differenzen im Intervall [0 ... 1] ergibt stets 1.

$\sum _{i=1}^{|\mathbb {V} |}{q_{i}-q_{i-1}}=\sum _{i=1}^{|\mathbb {V} |}{\frac {1}{n_{i}\cdot n_{i-1}}}=1$

Aus dieser Gleichung folgt für jeden Stammbruch $q_{s}\$ mit der Ordinalzahl s:

$q_{s}=\sum _{i=1}^{s}{q_{i}-q_{i-1}}=\sum _{i=1}^{s}{\frac {1}{n_{i}\cdot n_{i-1}}}$

Jeder Stammbruch in den Peirce-Zahlen ist eine Reihenentwicklung der Elementdifferenzen.

Ermittlung der Mächtigkeit

Hier liegt eine Interpretation als geordnete Menge vor. Im Gegensatz zur Farey-Folge, wird bei Peirce jede Lücke (der Raum zwischen zwei benachbarten Elementen) gefüllt.

Bei Jeder neuen Generation kommen also genau so viele Elemente hinzu, wie Lücken vorhanden sind. Durch jedes neue Element entstehen aber wieder zwei Lücken, die in der nächsten Generation gefüllt werden müssen. Damit ergibt sich die Anzahl der Lücken über die Potenzen von 2 und ist abhängig von der Generation.

Um die Kontinuität zur Farey-Folge zu wahren, beginnt jetzt die Zählung der Generationen bei 0 (Null) und verwendet die Startelemente $\mathbb {V} _{0}=\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}}\right\}$.

Sei l die Anzahl der Lücken und g die Generation, so ergibt sich

$l=2^{g}\$

Die Anzahl der Elemente und damit die Mächtigkeit ergibt sich dann aus

$|\mathbb {V} _{g}|=l+1=2^{g}+1$

Mächtigkeit als Argument für ein Kontinuum

Die Mächtigkeit(en) werden oft als weiteres Argument dafür genommen, dass die Peirce-Zahlen ein Kontinuum seien. Es ist tatsächlich eines der stärksten, denn es basiert auf Cantors Argumentation.

Die Generationen g der Peirce-Zahlen sind abzählbar, denn $g\in \mathbb {N}$. Würden nun die Generationen soweit gezählt, wie Cantor in seinem "ersten Diagonalargument" zählte, wäre die "letzte" Ordinalzahl $\omega \$. Damit wären

$2^{\omega }+1\$

Elemente vorhanden. Das würde bedeuten, dass diese Menge überabzählbar viele Elemente enthält und damit die Voraussetzungen eines Kontinuums erfüllt.

Entkräftung des Arguments "Mächtigkeit"

Das oft als stärkstes Argument für ein Kontinuum angeführte Argument der Mächtigkeit $|\mathbb {V} _{\omega }|=2^{\omega }+1$, kann widerlegt werden.

Die Erzeugung der Peirce-Zahlen ist genaugenommen keine Folgenentwicklung sondern die Vereinigung zweier disjunkter Mengen. Dabei wird die zweite Menge aus der ursprünglichen erzeugt, wobei die angewendeten Operationen für die unterschiedlichen Elemente sorgen. Bei den Peirce-Zahlen und der Farey-Folge ist es die Farey-Addition.

Auch die Zahlenmenge $\mathbb {N}$ - deren Abzählbarkeit wohl kaum in Zweifel gezogen wird – kann mit einem derartigen Verfahren erzeugt werden.

${\mathcal {N}}_{0}=\left\{0\right\}$

Zu jedem Element der Menge ${\mathcal {N}}_{g}$ wird jetzt die Mächtigkeit der Menge addiert. Die Ergebnisse bilden die zweite Menge ${\mathcal {N}}_{g}^{'}$.

${\mathcal {N}}_{0}^{'}=\left\{0+|{\mathcal {N}}_{0}|\right\}=\left\{0+1\right\}=\left\{1\right\}$

Die neue Menge ${\mathcal {N}}_{g+1}$ wird nun aus

${\mathcal {N}}_{1}={\mathcal {N}}_{0}\cup {\mathcal {N}}_{0}^{'}=\left\{0\right\}\cup \left\{1\right\}=\left\{0,1\right\}$

Die "letzte" Generation $\omega \$ liefert denn auch das gewünschte Ergebnis

$\mathbb {N} ={\mathcal {N}}_{\omega }\cup {\mathcal {N}}_{\omega }^{'}$

Auch hier errechnet sich die Mächtigkeit aus $2^{\omega }\$. Damit ist aber nicht die Mächtigkeit des Kontinuums $\aleph \$ erreicht. Die einfache Nennung von $2^{\omega }\$ hat nichts mit der Potenzmenge zu tun, deren Mächtigkeit $2^{|\mathbb {N} |}$ ist. Eine Ordinalzahl – und sei es die "letzte" – ist bei unendlichen Mengen keine Kardinalzahl.

Hier, und auch bei der Erzeugung der Peirce/Farey-Zahlen, werden stets abzählbare Mengen vereinigt.

Die Vereinigung von abzählbaren disjunkten Mengen ergibt wieder eine abzählbare Menge.

Damit wird auch die Interpretation als einfache Folge entkräftet, was auch Auswirkungen auf die Farey-Folge hat.