Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Projektion auf . Für mit gilt dann

also ist

Sei umgekehrt

eine Endomorphismus mit

Es sei . Dann gibt es insbesondere ein mit

Dann ist

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges schreiben wir

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.