Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\pi _{U}$ die Projektion auf ${}U$. Für ${}v=u+u'$ mit ${}u\in U,\,u'\in U'$ gilt dann

${}\pi _{U}(\pi _{U}(u+u'))=\pi _{U}(u)=u=\pi _{U}(u+u')\,,$

also ist

${}\pi _{U}^{2}=\pi _{U}\,.$

Es sei umgekehrt

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Endomorphismus mit

${}\varphi ^{2}=\varphi \,.$

Es sei ${}x\in \operatorname {kern} \varphi \cap \operatorname {bild} \varphi$. Dann gibt es insbesondere ein ${}y\in V$ mit

${}\varphi (y)=x\,.$

Dann ist

${}x=\varphi (y)=\varphi (\varphi (y))=\varphi (x)=0\,,$

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges ${}v\in V$ schreiben wir

${}v=\varphi (v)+(v-\varphi (v))\,.$

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen

${}\varphi (v-\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (v)=0\,$

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.

Zur bewiesenen Aussage