Es sei
die Projektion auf
. Für
mit
gilt dann
-

also ist
-

Es sei umgekehrt
-
eine Endomorphismus mit
-

Es sei
.
Dann gibt es insbesondere ein
mit
-

Dann ist
-

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges
schreiben wir
-

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen
-

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.