Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum.

Zu einer direkten Zerlegung

${}V=U\oplus U'\,$

ist die Projektion auf ${}U$ eine Projektion im Sinne von Definition. Eine solche Projektion

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

führt umgekehrt zu einer Zerlegung

${}V=\operatorname {kern} \varphi \oplus \operatorname {bild} \varphi \,,$

und ${}\varphi$ ist die Projektion auf ${}\operatorname {bild} \varphi$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen