Projektive Ebene/Z/Punkte/Injektion modulo p/1/Aufgabe/Lösung

Wir ersetzen direkt ${}P_{2}$ durch ${}\left(1,\,1,\,1\right)$. Dann werden alle Punkte ganzzahlig und teilerfremd repräsentiert und man kann direkt die Reduktion ausrechnen

Der erste Minor der ersten beiden Punkte ist

${}4\cdot 1-3\cdot 1=1\,,$

die ersten beiden Punkte sind also bei jeder Reduktion verschieden.

Der erste Minor des ersten und des dritten Punktes ist

${}4\cdot 3-3\cdot 1=9\,,$

somit bleiben diese beiden Punkte bei ${}p\neq 3$ verschieden. Bei ${}p=3$ sind die Reduktionen von ${}P_{1}$ und ${}P_{3}$ beide gleich ${}\left(1,\,0,\,2\right)$.

Der erste Minor des zweiten und des dritten Punktes ist

${}1\cdot 3-1\cdot 1=2\,,$

somit bleiben diese beiden Punkte bei ${}p\neq 2$ verschieden. Bei ${}p=2$ sind die Reduktionen von ${}P_{2}$ und ${}P_{3}$ beide gleich ${}\left(1,\,1,\,1\right)$. Für alle Primzahlen ${}p\neq 2,3$

besteht also die Reduktion ebenfalls aus drei Punkten.

Zur gelösten Aufgabe