Projektive Gerade/Rationale Funktion/u+u invers/Aufgabe/Lösung


  1. Es ist kein volles lineares System, da es in die drei linear unabhängigen Schnitte gibt.
  2. Der zugehörige Morphismus zu einer Familie von globalen Schnitten ist nach Definition auf den Invertierbarkeitsmengen der Schnitte definiert. Diese sind bzw. . Auf der ersten Menge ist die Abbildung durch

    mit gegeben.

    Auf der zweiten Menge ist die Abbildung durch ( bezeichne eine Quadratwurel der )

    mit gegeben.

  3. Das System ist basispunktfrei, da die beiden Mengen und . die projektive Gerade überdecken: Falls nämlich ist, so ist zunächst eine der Koordinaten gleich , doch dann ist auch die zweite Koordinate gleich .
  4. Die Körpererweiterung der Funktionenkörper ist durch gegeben. Der Grad ist , da die quadratische Gleichung

    über erfüllt, und es sich nicht um die identitsche Erweiterung handeln kann, da beispielsweise durch ein nichttrivialer -Körperautomorphismus gegeben ist.

  5. Sei und zuerst beide Koordinaten von verschieden. Wir arbeiten mit der obigen affinen Beschreibung, also mit der Abbildung

    Das Urbild zu einem Punkt besteht aus den Lösungen der Gleichung , also

    also

    Sei und ein Urbild von . Für den lokalen Ringhomomorphismus

    gilt

    und ist eine Einheit und eine Ortsuniformisierende in . Daher ist die Verzweigungsordnung gleich . Bei

    gibt es nur das Urbild bzw. . Für den lokalen Ringhomomorphismus

    gilt

    und die Verzweigungsordnung ist . Entsprechend für . Das Urbild des Nullpunktes in , also von (bzw. ), besteht aus und . Der lokale Ringhomomorphismus ist

    und wegen

    ist die Verzweigungsordnung . Das Urbild des unendlich fernen Punktes, also von bzw. , besteht aus bzw. . Der lokale Ringhomomorphismus ist einerseits

    mit

    also Verzweigungsindex und andererseits

    mit

    und dies hat auch Verzweigungsordnung .

  6. Es geht darum, den Hauptdivisor zu auf der projektiven Geraden zu bestimmen. Wenn

    ist, so liegt ein Pol, jeweils der Ordnung vor. Andernfalls ist definiert und besitzt die beiden einfachen Nullstellen und . Der Hauptdivisor ist also (in Koordinatennotation von der affinen Geraden aus gesehen)

    bzw. in homogenen Primidealen der Höhe ausgedrückt