Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Geschlecht 0/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der affinen Standardüberdeckung

mit und ist

Wegen Fakt und der entsprechenden Aussage für können wir Fakt heranziehen. Eine erste Kohomologieklasse zur Strukturgarbe wird somit durch eine holomorphe Funktion auf repräsentiert. Die Theorie der Laurent-Entwicklung auf einer punktierten Kreisscheibe sichert eine Darstellung

wobei

den Nebenteil und

den Hauptteil bezeichnet. Dabei ist eine holomorphe Funktion auf . Mit ist die Funktion

holomorph fortsetzbar nach

(also für ) mit dem Wert . Somit ist die Differenz von auf bzw. auf definierten holomorphen Funktionen, was bedeutet, dass die Kohomologieklassse trivial ist.