Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Rationale Funktion/Abschätzung nach unten/Fakt

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$

ein Morphismus, der durch teilerfremde Polynome ${}f,g\in {\overline {\mathbb {Q} }}[X]$ gegeben ist. Es sei ${}d$ das Maximum der Grade der Polynome.

Dann gibt es eine positive Konstante ${}C$ derart, dass die absolute Höhe die Abschätzung

${}H(\varphi (P))\geq C\cdot H(P)^{d}\,$

für jeden Punkt ${}P\in {\mathbb {P} }_{\overline {\mathbb {Q} }}^{1}$ erfüllt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen