Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Rationale Funktion/Abschätzung nach unten/Fakt/Beweis

Beweis

In der homogenen Realisierung des Morphismus seien die teilerfremden homogenen Polynome vom Grad in den Variablen . Aufgrund der Teilerfremdheit erzeugen und in das maximale Ideal bis auf das Radikal, d.h. es gibt mit dem Hilbertschen Nullstellensatz ein und Polynome mit

und

Hierbei können wir direkt als homogen vom Grad annehmen. Ferner können wir durch eine endliche Körpererweiterung annehmen, dass alle Polynome über definiert sind.

Es sei ein Betrag, wobei wir im nichtarchimedischen Fall und im archimedischen Fall setzen. Es sei ein Punkt. Es gilt dann

und entsprechend für , was wir zu

zusammenfassen.

Wir setzen

Da die alle den Grad besitzen, kommt in ihnen eine bestimmte Anzahl, sagen wir an Monomen vor. Es gilt dann

Einsetzen der zweiten Abschätzung in die erste ergibt

Multiplikation mit der positiven Zahl ergibt die Abschätzungen

Es gibt nur endlich viele archimedische Beträge, für die nichtarchimedischen Beträge werden die Faktoren zu und bis auf endlich viele Beträge ist auch , da die Koeffizienten aller jeweils nur für endlich viele Beträge sind. Die Abschätzungen bleiben erhalten, wenn man die Potenzen zu den Exponenten nimmt und man kann dann das Produkt über alle Beträge nehmen. Schließlich geht man durch Wurzelziehen zur absoluten Höhe über.