Projektive Kurve/Endlicher Körper/Frobenius/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Es gibt eine endliche Abbildung

(siehe Fakt für die Algebraversion), sagen wir vom Grad . Das Diagramm

kommutiert. Entsprechend kommutiert das Diagramm

der Funktionenkörper. Die vertikalen Abbildungen haben den Grad . Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad des -ten Frobenius auf dem Körper zu bestimmen. Dieser ist als -Algebrahomomorphismus durch gegeben. Unter der Abbildung

ist (das hintere) eine freie -Algebra mit der Basis , was sich auf die Quotientenkörper überträgt. Die Dimension von über ist also .