Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ mit Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche wohldefinierte Abbildung

   ${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto \left(ha_{0}\mod {\mathfrak {m}},\,ha_{1}\mod {\mathfrak {m}},\,\ldots ,\,ha_{n}\mod {\mathfrak {m}}\right),$

   wobei ${}h$ so zu wählen ist, dass ${}ha_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$ für alle ${}i$ und eines der ${}ha_{i}$ in ${}R_{\mathfrak {m}}$ eine Einheit ist.

2. Für eine über ${}R$ definierte projektive Varietät ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ gibt es eine natürliche Abbildung ${}Y(Q)\rightarrow Y(K)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen